零点存在性问题-交易市场-网游限时活动站

零点存在性问题

零点存在性问题

suyulong2012

2025-09-27 11:06:43

学习·文化课

零点存在定理

1. 零点的定义

什么是零点？

零点，就是一个函数中，函数值为零的点，就是函数与 x 轴相交的地方。

2. 零点存在定理

如果函数 y=f(x) 在一段区间 [a, b] 上的函数图像是一条连续不断的曲线，而且满足 f(a)f(b)<0 。

那么函数 y=f(x) 在区间 [a, b] 上的函数图像中至少有一个零点。

即存在找一个点 c \in (a, b) ，满足： f(c)=0 。

这个东西是很有用的。

3. 零点分类

(1). 变号零点：零点的两侧函数值异号。

(2). 不变号零点：零点的两侧函数值同号。

这个倒不怎么重要。

做法：

法一：解方程

例：函数 f(x)=ln(4x-1) 的零点为____.

很简单，既然是零点，那我们不妨设 f(x)=ln(4x-1)=0 。

那么根据 log 函数的性质，我们就可得： 4x-1=1 。

随后解得： x=\displaystyle\frac{1}{2} 。

那么所以函数的零点为 \displaystyle\frac{1}{2} 。

法二：因式分解/图像法

我们可以将解析式因式分解为乘积形式，求出对应方程根，那么，这些方程根就是其零点。

法三零点存在性法

这个我们就可以运用零点存在与其给定的条件，通过“猜”来求出区间。

二分求解

二分，是一个很常用的方法，原理详见我的二分算法这一文章。

那么这个有什么不同的呢？

我们用零点存在性法求出区间之后，我们就再看，怎么让范围进一步的缩小呢？那么我们就要请出我们伟大的二分算法了。

我们在 (a, b) 上取中点—— c 。

然后看，若 f(c)f(b)<0 ，则令 a=c 。若 f(c)f(a)<0 ，则令 b=c 。

其实以上过程就是普通的二分的区间的压缩。

随后，设 e 为精确值，只要 \vert a-b \vert < e 即可。